Axis Angle Rotation

Axis Angle Rotation

• \(R^2\) 공간에서 벡터 i=(1,0), j=(0,1)이 있을 때, 벡터 i를 회전시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• 다음으로 i, j 대신 기저벡터로 v_perp, w를 사용하고, 회전축은 A를 사용하여 v_perp을 회전시키면 다음과 같다.
  • v_prop: A축에 대해 projection
  • v_perp: A축에 대해 perpendicular

• v의 수직 성분과 수평 성분을 더하면 회전된 v를 계산할 수 있다. v_prop은 회전축 A에 대하여 회전을 하여도 변하지 않게 된다.

• v_prop: 회전축 A에 v를 projection
  • \(hat{A}\): A의 unit vector

• v_perp: v에서 수평 성분인 v_prop을 빼서 구함

• w: 회전축 A와 v의 외적

• v의 회전식을 지금까지 구해진 식으로 풀어서 적으면

• v를 분리하기 위해 tensor product와 skew matrix를 사용하여 정리한다.

tensor product

• 3개의 벡터 u, v, w가 있을 때 다음과 같은 식이 성립

skew matrix

• 외적을 행렬로 표현하고 싶을 때 사용
• 벡터 v를 skew matrix로 표현한다.
• 그리고 여기에 벡터 w를 곱해주면 외적이 행렬로 표현된다.

• v의 회전식을 다시 정리하면
  • S: skew matrix of A
  • I: identity matrix

• 위의 식에서 벡터 v에 곱해지는 부분이 바로 벡터 v를 회전시키는 행렬 부분이 된다.
• 행렬 부분만 풀어 적게 되면 다음과 같이 된다.

위의 행렬을 임의의 벡터 v에 곱하게 되면 임의의 회전 축 A를 기준으로 회전된 벡터 v를 구할 수 있다.

출처
https://mycom333.blogspot.com/2014/01/axis-angle-rotation.html https://nobilitycat.tistory.com/entry/%EC%9E%84%EC%9D%98%EC%9D%98-%EC%B6%95-%ED%9A%8C%EC%A0%84-Axis-Angle-Rotation